进阶学习视域下小学数学的教学设计 ——以《长方体与正方体的表面积》教学为例

摘 要：在探讨小学数学进阶学习的背景下，文章专注于《长方体与正方体的表面积》的教学。文章强调了这部分内容对于学生空间观念形成的重要性，以及如何通过有效的教学方法来提高学生的理解力。文章提出，教学应从直观的物体模型出发，引导学生观察、思考和操作，通过实际测量和计算活动，帮助学生构建起对长方体和正方体表面积概念的理解。关键词：进阶学习；小学数学；教学设计

一、进阶学习理论

进阶学习理论指出，学习应是一种主动探索、自主建构的过程。此间，学习者不再是被动接受知识的容器，而是知识的探索者和创造者。它还强调，学习者要在实践中不断反思、总结，形成自己的认知结构，关注学习者的个体差异，为他们提供个性化的学习支持。

二、教学设计

讨论“什么是面积？”“什么是表面积？”，你们家的房子有多大？指的是什么？那么长方体或正方体的表面积指的是什么？

师：求“长方体的表面积”，就是求？

生：长方体六个面的面积之和。

师：我们把长方体六个面的总面积，叫做它的表面积。怎样求长方体的表面积？

生：把长方体六个面面积全算出来，再相加。

生：算出每组相对的面中一个面的面积，相加后乘2。

生：把长方体的前、后、左、右四个面平铺，变成一个大长方形求面积。

师：这些方法之间有没有相同的地方呢？

生：都是将长方体一周的四个面展开变成一个大长方形，再加上另外两个面的面积。

师：“一周的四个面展开”，也就是？

生：平铺变成一个平面。

师：这就是我们数学中的转化思想

在计算方法上，还有什么共同的特点？

生：都先用长乘宽算出大长方形的面积，再加上另外两个面的面积。

师（随即将长方体教具变换底面放置）:大长方形的长和宽其实就相当于长方体的？

生：长方体的底面周长，宽相当于高，求侧面的面积就用底面周长乘高

生：那我们知道正方体是特殊的长方体，那么长方体和正方体表面积公式本质完全一样吗？

师：谁听懂了他的问题？这个问题很有价值，四人小组聊聊！

生：我觉得长方体和正方体表面积公式本质上是一样的，因为正方体是特殊的长方体，说明长方体的表面积计算公式适用于正方体……

生：设正方体一条棱长是 6，我们可以算 6×6×6，也可以算（6×6＋6×6＋6×6）×2。

师：他用具体例子来说明，这三个“6”的意思一样吗？……

生：我们组的问题是表面积一样的长方体棱长一样吗？

师：我给这个同学点赞，第一，他说的这个问题是小组一致认为有价值的问题；第二，他的问题本身很有思维含量……

老师也准备了一个问题：如果长方体的长用a表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积用 S长表示，你能用含有字母的式子表示长方体的表面积吗？用 S正表示正方体的表面积，用a表示棱长，你能用含有字母的式子表示正方体的表面积吗？

生：S长=2(ab＋bh＋ah)，S正=6a²。

师：公式是对了，谁能结合图形说说公式的含义？

生：a×b 是长方体下面的面积，b×h 是长方体右面的面积，a×h是长方体前面的面积，加起来再乘以2是整个长方体的表面积……

师：真好！我们结合含有字母的式子回顾一下第一个同学的问题，抛出类似问题：当长方体怎样的情况下，长方体就变成了正方体？

生：长、宽、高都相等。

师：假设b和h都变成a,合在一起是3a²，再乘以2是6a²，因此本质上长方体表面积公式和正方体表面积公式是一样的。

师：那我们学会了计算长方体和正方体的表面积了，那如果给你一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体，你能在这个长方体上切出一个最大的正方体吗？这个正方体的棱长是多少？

生：棱长应该是3cm。

师：你怎么知道的？让你们切出一个最大的正方体？

生：因为是以长方体的高作为正方体的棱长，如果以长方体的长或宽作为棱长，高的长度够，应该选取长、宽、高中最短的一条的长度。

师：分析得真好。正方体的表面积是多少？

生：……

师：刚才大家运用“切”的方法把长方体变成了正方体，下面我要用这样的两个大小相同的正方体拼成一个长方体，可以怎样拼？想一想有多少种不同的拼法？（板书：拼大小相同）请你用手中的小正方体拼一拼。

生：一种是横着拼，一种是竖着拼。

师：比较拼成的长方体和原来两个正方体，有什么发现？

生：体积相等。

生：拼成的长方体表面积减少了两个面的面积。

师：请你指一指具体减少了哪两个面的面积，为什么是减少了这两个面的面积？

生：横着拼减少了这两个面的面积（学生到讲台前手指屏幕），竖着拼减少了这两个面的面积（学生手指屏幕）。因为拼成长方体后，这两个面重合了，被遮挡住了。

生：其实这两种拼法是一样的，只不过一种是横着的，一种是竖着的。

师：大家同意吗？今天我们就来研究横着拼这种方法。

师：刚才切出的正方体的棱长是3cm，拼成的长方体表面积、体积是多少呢？

师：哪位同学愿意来说一说？

师：还有不同做法吗？

师：很好。刚才大家已经发现拼成的长方体的体积和原来两个正方体的体积相等。表面积是不是也是这样呢？

生：不是。因为把两个正方体拼在一起，有两个面重合被遮挡住了，长方体表面积比两个正方体表面积减少了两个面的面积。

师：分析得很好，表面积怎样计算呢？

师：谁还有不同的方法？

生：为什么要乘10？10是哪儿来的？

生：因为拼成的长方体只看到了10个正方形的面。

生：两个正方体有12个面，再减去２个重合的面，就是10个面。

师：说得真好，表达得也清楚明白。

师：用２个正方体拼你明白了表面积的变化，３个相同的正方体像这样拼成一行，拼成一个长方体，表面积比原来减少几个面的面积４个呢？更多呢？

生：３个正方体拼在一起减少４个面的面积。

生：４个正方体拼在一起减少６个面的面积。

生：多一个正方体，就多减少两个面的面积。

师：当把几个大小相同的正方体拼成长方体时，它们的体积不变，表面积会减少，每增加一个正方体，拼成的长方体就多减少原来正方体２个面的面积。

师：刚才我们重点研究了用大小相同的正方体拼搭，发现了这么多重要的信息，真棒！

三、进阶学习视域下的小学数学教学设计反思

在进阶学习视域下，对于长方体与正方体面积的教学设计反思，我认为我们应从更高层次、更广阔的视角去审视这一课题。事实上，长方体与正方体面积的教学应将其置于立体几何、数学美学乃至哲学的高度来探讨。

首先，在立体几何层面，其作为基本的立体图形，其表面积教学可以引导学生从二维空间向三维空间拓展。其次，在数学美学层面，它们的表面积教学可以引导学生发现几何图形的对称美、比例美。再从哲学层面来看，此教学可以引导学生思考“有限与无限”的辩证关系。在探讨长方体和正方体表面积时，我们可以引导学生思考：当长、宽、高趋于无穷大时，其表面积会怎样变化？这一问题将引导学生从哲学的高度去思考有限与无限的关系，培养他们的辩证思维能力。                                                   

参考文献：

[1]张达福.“导”与“学”有机结合——《长方体和正方体的表面积》教学案例[J].数学大世界(下旬),2020,(03):84.

[2]钱志祥.促进学习力提高的问题设计——以《长方体与正方体表面积》内容为例[J].小学教学设计,2018,(08):62-63.

[3]王玉龙.二维转化为三维提升空间想象力——以“长方体和正方体的表面积”教学为例[J].小学教学研究,2017,(20):61-62.

[4]刘勇.“长方体、正方体的表面积”教学实践及反思[J].小学数学教育,2013,(06):58-59.

[5]魏莉.由教思惑,以学定教——对“长正方体表面积”教学的一些认识[J].新课程(下),2019,(03):35.

作者简介：赵悦（2000—），女，汉族，江苏盐城人，硕士在读，单位：扬州大学，研究方向：小学数学。