初等行变换在线性代数中应用的探究

摘要：本文主要介绍了初等行变换在行列式的求值、矩阵的逆、矩阵的秩、解矩阵方程、求最大无关组、求过度矩阵等方面的应用。

关键词：初等行变换；线性方程组；矩阵；向量

中图分类号：0151.22  文献标识码：A

1  引言

线性代数这门学科有较强的抽象性，很多学习者感觉很难，它要求不仅会套用公式，还要对定义有真正的理解。要学好线性代数，必须围绕矩阵的初等行变换这条主线，为方便初学者学习，本文总结了初等行变换在线性代数中的十条应用。

2  初等行变换的定义

矩阵的初等行变换[1]有下列三种变换形式：（1）交换两行(交换,记作)；（2）以一个数乘矩阵的某一行中所有元素(第i行乘数k，记作)；（3）把某一行的k倍加到另一行上去(第j行的k倍加到第i行，记为)。把矩阵利用初等行变换化成行阶梯形矩阵或行最简形矩阵。

3  主要应用

应用1：行列式的计算

先把行列式化成上三角行列式，再把主对角线上各元素相乘即为行列式的值；或者化成某一列只有一个非零元素，其余元素全为零，按照这一列展开降阶求值。

例1：求的值。

解法1：          

应用2：求逆矩阵

可用公式对二阶矩阵求逆，三阶以上矩阵需作一个分块矩阵，然后对矩阵实施初等行变换，即。

例2： 求的逆矩阵。

解：。

应用3：解矩阵方程

设矩阵A可逆，解矩阵方程或者。解时构造增广矩阵经过初等行变换，即求解；解时，可以进行转化

，得到。

例3：解矩阵方程，其中。

解：，可见，因此A可逆，且为方程的唯一解。

应用4：解线性方程组

例4：求解非齐次线性方程组

解：增广矩阵，即得方程组的通解为： ，其中，齐次线性方程组的基础解系是，方程组的特解是，

（c为任意常数）。

应用5：求矩阵的秩

由于初等行变换不改变矩阵的秩，把A化成行阶梯形，非零行的行数就是矩阵的秩；

例5：求矩阵的秩。

解：。

应用6：判断向量组的线性相关性

矩阵可以看成由向量组构成，判断向量组的线性相关性，取决于向量的个数和矩阵的秩是否相等，如果向量个数等于矩阵的秩就线性无关，如果向量个数大于矩阵的秩就线性相关；。

例6：判断向量组 的线性相关性。

解：，故向量组线性相关。

应用7：判断能否线性表示

例7：设，证明向量b由向量组线性表示。

解：只需证明的秩相等。把B化成行最简形：

    ，因此，向量b能由向量组线性表示。可得方程的通解为

从而得表达式，其中c为任意实数。

应用8：求最大无关组

例8：求矩阵列向量组的一个最大无关组。

解： 对A实施初等行变换变为行阶梯形矩阵，因为矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以，是列向量组的一个最大无关组。

应用9：求特征值和特征向量

例9：求的特征值和特征向量。

解：，解得特征值是二重特征值。当时，解方程得基础解系，得特征向量为，其中不同时为零。

应用10：求过渡矩阵

求一个基到另一个基的过渡矩阵，设得，即为从A到B的过渡矩阵。

例10：已知R³的两个基为；，

求由基到基的过渡矩阵。

解：。

为基到基的过渡矩阵。

4 结束语

线性代数中一条主线是矩阵的初等行变换[2]。本文归纳了初等行变换在行列式的求值、矩阵的逆、求特征值和特征向量等十个方面的应用，希望对初学者有所帮助。

参考文献：

[1] 同济大学数学系. 线性代数[ M]. 北京：高等教育出版社, 2007.

[2] 杨桂元.矩阵的初等行变换及其应用[J].皖西学院学报,2004(20):8-11.    

作者简介：张爱芳（1982—），女，山东青岛人，硕士，讲师，研究方向：数学教学