基于优化教学方法，促进高中数学课题建设的研究 ——数学建模在高中课堂的优化实施策略

摘要：高中数学教学中，数学建模是抽象知识与实际应用的连接平台，但部分课堂仍然以理论讲解为主，难以有效引导学生利用建模思维拆解教材知识点，解决具象问题。本文结合高中数学教材核心模块，探寻建模教学的优化实施途径，加强知识的应用属性，改进课堂教学实效，为数学课题的建设提供具象化支撑，助力教学由知识传递向能力培育转变，契合一线教学的实际需求和实践要求。

关键词：高中数学；数学建模；课堂教学

引言：

数学建模是利用抽象、简化、假设等方式，将实际问题转化为数学问题并求解验证的过程，是数学应用的主要形式。高中数学课题的创建需要依托课堂教学，建模教学可以为课题研究带来鲜活的实践载体和方法支持，教师需要以教材主要内容为基础，研究建模优化策略，进而激发课堂教学活力，加深学生对数学知识本质的认识，使课题建设和课堂教学互相促进、共同发展，从而体现数学学科的应用价值。

一、情境锚定教材，搭建建模载体

建模教学的关键在于建立知识与实际的联系，依托教材知识点创设具体场景，可以降低建模思维的迁移难度。情境设计需要以教材内容的本质属性为基础，不能脱离知识点去设置泛化的场景，而是借助生活化、具体化的场景来铺垫，从而促进学生自主分析数学要素并建构数学模型。合理的情境锚定还会使建模过程自然地嵌入到知识学习中，让学生感受到建模对于加深知识理解的辅助作用，实现知识点和建模方法的同步掌握^[1]。

例如，在高中数学（2019人教版A版）“空间点、直线、平面之间的位置关系”教学中，教师为学生创设校园教学楼空间布局规划的情境，课前让学生去观察教学楼走廊、教室墙面、楼梯扶手等结构的空间位置特点并做好记录。以“教室门和走廊墙面垂直关系如何确定、楼梯扶手和地面平行判定方法”等实际问题为切入点，引导学生从中抽取点、线、面这三个基本要素，将实际空间问题转化为教材中的位置关系判断问题。学生绘制教学楼的简化立体图，标注线面垂直、平行等关键节点，利用教材中的判定定理来检验模型正确性，加深学生对空间位置关系的认识，实现建模过程和教材知识的融合。在此过程中，教师引导学生比较立体图和教学楼实际结构的差别，使学生认识到建模中“忽略次要因素、提炼主要因素”的核心方法，学生不但掌握了空间点线面位置关系判断的办法，而且初步形成了从具体情境中抽象出数学模型的思维意识，教材的知识得以落实在具体的情境中，也使数学建模不再是孤立的方法训练，而是理解、运用教材知识的一种有效方式。

二、任务分层推进，拆解建模流程

建模过程的复杂性容易使学生产生畏难情绪，按照知识逻辑分层设计任务，可以将建模过程分解成循序渐进的小环节。分层任务需要符合教材知识点的难度梯度，从基础要素提取、模型构建，到结果验证，每一个环节对应的知识目标使学生逐步掌握建模思维方法。通过任务分解弱化建模的复杂性，使每个环节和教材知识相联系，在分步实践中培养学生建模能力。

例如，在高中数学（2019人教版A版）“随机抽样”教学中，教师设计三层递进的任务进行建模实践。第一层任务为样本界定，以了解全校学生每天体育锻炼时长为研究对象，引导学生根据教材抽样方法来确定总体、个体、样本的概念，讨论为什么要采用抽样调查而不是全面调查，确定抽样的主要价值。第二层任务是方法选择，给出不同抽样方案，让学生比较简单随机抽样、系统抽样的适用场景，根据学校年级、班级分布特点，确定以班级为单位的系统抽样方案，落实教材中抽样方法的选择依据。第三层的任务为模型优化，引导学生设计抽样问卷，明确样本量确定原则，讨论怎样规避抽样偏差，保证各个年级的抽样比例均衡。学生以小组为单位完成问卷的设计和抽样实操，结合教材内容分析抽样过程中的样本代表性不足等问题，在教师点拨下调整抽样比例、优化问卷问题设置。三层任务层层递进，将随机抽样建模的过程拆解成可以操作的小步骤，完成每层任务的过程便是掌握教材核心知识点的过程，在逐步实践中理解建模的逻辑，降低建模难度，培养学生按逻辑分解复杂问题的建模方法。

三、理论实践互证，深化建模应用

建模教学需要达成理论推导和实践应用的双向印证目的，基于教材理论来建立模型，再用模型的应用去加深学生对理论的理解^[2]。以教材中的定理、公式为基础，构建建模理论框架，围绕实际问题来优化模型，使理论知识成为建模的支撑，同时让建模成为理论应用的载体。这样一种互证的模式，能够突出数学知识的工具性，促使学生由“记忆理论”转向“灵活运用”。

例如，在高中数学（2019人教版A版）“频率与概率”教学中，以“校园食堂菜品满意度”调查为载体开展建模实践。基于教材中频率和概率的内在联系，引导学生明确建模的核心是用样本频率来估计总体概率。组织学生设计满意度问卷，以不同时段的就餐学生为样本，收集“对菜品口味、价格、分量的满意度”数据。使用教材中频率的计算方法统计各维度满意频率，建立用频率来估算概率的模型。通过对比不同时段样本频率结果来考察模型的稳定性，探究样本量对概率估计准确度的影响，呼应教材中频率稳定性定理，随后延伸到利用概率模型来调整菜品供应，在建模实践过程中，加深学生对频率和概率关系的理解，使理论知识和建模实践相互促进。学生根据建模的结果为食堂提出具体菜品供应调整建议，食堂根据学生的建议进行一周的尝试，学生再重新收集满意度的数据，使用教材中的概率知识对模型实际使用效果做出检测，比较两次概率估计差异的大小并分析模型优化方向。在这个过程中，学生会很直接地体会到教材的理论对模型的支撑，并用实践来验证自己对频率稳定性定理的理解程度，基于实际情况修改数学模型，实现理论建模到实践应用，再从实践反馈回到理论深化的双向互证。

四、向量赋能空间，进行建模实践

空间向量是高中数学立体几何模块的主要工具，其价值在于将几何问题代数化，为建模提供准确的量化分析途径。从理论上而言，空间向量的应用建模需要紧密结合教材中的向量运算、线面关系判定、夹角与距离计算等主要知识点，以几何具象化、向量坐标化、运算求解、验证回归为主线，克服几何问题难以直观想象的局限性^[3]。建模过程中，教师需要引导学生将空间几何元素转化为坐标向量，使用向量的加减乘除运算来实现定性问题的定量求解，把线面平行、垂直、夹角大小等定性问题转化为定量求解的问题。在建模实践过程中，学生要深度衔接教材理论，培养数形结合思维和逻辑推理能力。

例如，在高中数学（2019人教版A版）“空间向量的应用”教学中，教师将实际情境设置为校园景观凉亭结构优化的问题情境，以凉亭支架稳定性设计为载体展开建模。课前组织学生对校园凉亭木质支架结构进行观察，提出核心问题“怎样确定支架杆件长度、夹角，保证支架与地面、凉亭顶部垂直稳定”这一问题。课堂上，以凉亭底部中心为原点建立空间直角坐标系，将支架的端点、地面边线、顶部横梁等几何要素转换成坐标点，最后表示成空间向量。结合教材中的向量垂直充要条件是数量积为0，让学生计算支架向量与地面法向量的数量积来判断支架是否垂直地面，利用向量夹角公式计算相邻支架杆件的夹角来判断结构受力合理性。针对部分支架倾斜的问题，引导学生根据向量坐标的变化调整杆件端点位置，重新计算验证，并得到符合稳定性要求的支架模型。整个过程以教材向量运算的知识点为依托，既有理论应用的实践性，又有空间几何问题建模的方法，进一步加深学生对空间向量工具性的认识。

五、方程锚定解析，提升建模效果

圆的方程是解析几何中的基础内容，其建模核心是依据教材中的圆的标准方程、一般方程及几何性质，将实际问题中“定点、定距”等核心要素转化为数学条件，建立解析几何模型。在理论方面，圆的方程建模需要按照“实际问题抽象→几何特征提取→坐标体系建立→方程构建求解→实际意义验证”的流程来进行，重点将教材中的圆心坐标、半径确定、点与圆的位置关系等知识点联系^[4]。建模过程中，教师需要引导学生确定圆的方程与实际问题关联点，建立合适的平面直角坐标系，利用圆的性质确定方程参数，实现实际问题的量化求解，加强学生的解析思维和模型构建能力。

例如，在高中数学（2019人教版A版）“圆的方程”教学中，教师利用校园操场圆形跑道的安全区域划分这一情境去进行建模实践，围绕“跑道周边安全标识的安装范围”展开教学。设置问题：校园圆形跑道的半径是30米，为了保证安全警示标识，需要安装在跑道外侧1米以内处距离操场看台（直线型边界）5米之外，确定警示标识的安装位置。在课堂中引导学生以跑道圆心为基准，建立平面直角坐标系，结合教材中圆的标准方程得到跑道方程为“x²+y²=30²”。根据外侧1米的范围来确定外圆的方程是“x²+y²=31²”，警示标识的初步安装范围就是两圆间的圆环区域。再将看台边界设置为直线l：x=40（结合操场实际布局设定），使用教材中的“点到直线的距离公式”来筛选出圆环区域中到直线l的距离大于或等于5米的点，也就是x≤35。最终通过联系圆的方程和直线x=35来确定警示标识安装区域的边界坐标，得到完整的安装范围模型。同时引导学生检验模型的合理性，判断跑道边缘某点是否在安装范围内，通过改变坐标系的位置来优化模型的精度，真正将教材圆的方程知识与实际问题结合起来，提高学生的方程应用和建模能力。

结束语：

数学建模与高中数学课堂的深度融合，是改进教学方法、推进课题建设的重要途径。利用教材核心知识点设计建模教学，既能激活课堂教学的实践性与趣味性，又能为课题研究提供丰富的实践素材，建模教学的优化需要以一线教学的实际出发点为依据，紧扣教材内容的本质属性，借助情境创设、任务拆解、理论互证等方式，使建模思维自然地渗透到知识学习的过程中。只有当建模教学与教材内容、课堂教学实现有机衔接后，才能真正彰显数学学科的应用价值，助力高中数学课题的建设。

参考文献：

[1]朱春林.新高考背景下高中数学建模教学的有效策略[J].宜宾学院学报,2025,25(07):109.

[2]张子平.高中数学建模教学的必要性与教学策略[J].秦智,2023,(07):130-132.

[3]陈蓉蓉.高中数学建模素养培养案例分析[J].中学数学,2024(21):19-20.

[4]季荣艳.基于深度学习的高中数学建模教学研究[J].数理天地（高中版）,2025(1):111-113.

课题信息：遂溪县中小学教育科学“十三五”规划课题，课题名称 ：基于优化教学方法，促进高中数学课堂建设的研究，课题批准号 ：GDSSXX2017008。