高中基础四面体教学中的解题方法

从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析基本图形和基本元素之间的基本关系。从某种意义上说几何教学就是图形教学。在立体几何教学中，对基本图形的认识与把握也是有层次性的，从分散到组合；从简单到复杂；从线线、线面、面面到简单的几何体等。由此可见，基础图形教学在学习立体几何知识、发展学生空间想象能力中的重要位置。想象是一种特殊的思维形式，数学中的空间想象能力是指对物体的形状、结构、大小、位置关系的想象能力。空间想象能力主要包括四个方面的要求：一是对基本的几何图形必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及其位置关系（从属、平行、垂直及基本的变化关系）；二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系；三是能借助图形来反映并思考用语言或式子表达的空间形状及位置关系；四是有熟练的识图能力。本文结合2020年各地高考中的立体几何试题谈谈几个常见的基础四面体的教学。

 一、三类常见的基础四面体

1、正四面体。

正四面体如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体，特别在多球问题中有广泛的应用。正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上。

如图1，正四面体ABCD，E、F分别是对棱BC、AD的中点，△AED是它的对称面，若正四面体的边长为 1，通过解△AED，可得它的对棱距离，内切球半径，外接球半径，表面积为，体积为，相邻面所成的角的平面角为，侧棱与底面成的角为。

例1：如图2，在多面体ABC-DEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该

多面体的体积为（      ）。

多面体ABCDEF是由一个侧面为正方形ABCD的正三棱柱，与一个边长为1的正四面体组合而成。这个正三棱柱的侧棱与对面的距离（即EF与面ABCD的距离）等于正四面体的对棱距离，因此它的体积为，故选A。

2、双垂四面体。

如图3，四面体 A-BCD，，这种四面体也是构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：

    （1）它的四个面都是直角三角形；

    （2）；

    （3）以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是；

    （4）以AD为棱的二面角为；

    （5）对棱 AB与 CD垂直，且 BC是它们的公垂线；

    （6）对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，等等。

    例2：已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图4。

（1）证明：；

（2）求二面角的大小。

     证明：（1）略。

    （2）∵平面 ，同理，是一个双垂四面体，若二面角的平面角为，则，根据条件，从图4中可知，即可算得。

3、直角四面体。

若四面体有一个顶点出发的三条棱两两垂直，如图5，四面体P-ABC，PA⊥PB、PB⊥PC、PC⊥ PA，则称它为直角四面体。主要性质有：

（1）以 P为公共顶点的三个面两两垂直；

  （2）顶点 P在面ABC上的射影是△ABC的垂心；

  （3）△ABC是锐角三角形；

（4）若互相垂直的三条棱长为a、b、c，则它的体积为；

  （5）以AB、BC、CA为棱的二面角的正切分别为，。

  （6）它的外切球的直径为。

直角四面体也可想象成是长方体的“冰山一角”。

例3：已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，如图6，△ABC、△PEF都是正三角形，PF⊥AB。

（1）证明PC⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；

二、两点教学建议

1、基础四面体的教学应该根据学生的知识、能力水平有计划地进行。在线线、线面、面面的位置关系起步阶段教学中，应渗透一些基础四面体直观图形的认识，也就是适当地选择一些四面体作为线面关系教学的载体；在线面关系的阶段小结与复习阶段，则可进行专题研究与探究式学习的教学方法，引导学生通过自己的努力，全面认识与掌握这些常见的基础四面体。切忌死记硬背，盲目套用。

2、要注意在几何教学中培养学生良好的思维习惯与解题习惯。解答立体几何的问题，可分为三个步骤：一识图、二计算、三表述。解决几何问题不论是用传统推理的方法，还是用向量的手段，首先要看懂图，想通图、在识图过程中，要会“拆”，看清各个部分（如底面、侧面、对角面等）的形状与相互关系，看清基础图形与各个部分及整体之间的关系；要会“拼”，要会在正方体、长方体及其他多面体的框架上认识图形；要会“变换”，从各个角度、姿态（横卧、竖放等）认识图形。在识图过程中要学会标图，并把定性分析与定量计算结合起来。识图的过程也就是解决的过程。最后考虑用什么方法表述（传统方法、向量方法），及如何准确、简洁、规范地表述。从高考阅卷中发现学生的表述问题很大，在教学中要注意这方面的训练与培养。