刍议高等数学解题中“道”的统领与“术”的实践

摘要：本文主要探讨高等数学解题中“道”与“术”的内涵关系及其在教学中的辩证统一路径，并提出以“道”驭“术”、以“术”显“道”的教学策略，为提升学员数学核心素养提供理论思考与实践参照。

关键词：高等数学；解题；“道”与“术”

高等数学不仅是军队院校学员知识体系的核心基石，更是培养理性思维与创新能力的关键熔炉。然而，当前教学实践中普遍存在一种偏向，过度聚焦于解题技巧即“术”的传授与操练，而相对忽视了数学思想方法即“道”的渗透与引领。教员往往陷入“例题—套路—刷题”的循环，学员则停留在“套公式、对题型”的表层学习。这种失衡导致学员虽能熟练套用公式定理，却在面对新颖复杂问题时思维僵化，难以触及数学精髓。如何平衡“术”与“道”，成为高数教学改革的重要议题。  

1.道术之辨，高等数学解题的双重维度

在东方哲学智慧中，“道”主要指根本原理、核心思想与普遍规律，而“术”指具体方法、操作技能与实践手段。

1.1高等数学解题之道

在高等数学解题语境下，“道”之维度，为数学思想的深层意蕴，是解题的灵魂与指南，体现为对数学对象本质属性、内在联系及变化规律的深刻洞察。一是极限思想，贯穿微积分始终的“无限逼近”思想，是理解瞬时变化率与累积量的基石，如导数定义、积分定义、级数收敛。二是转化与化归思想，将复杂、陌生问题通过变量代换、分部积分、级数展开、几何直观等方法，转化为简单、熟悉的问题模型，如将曲线积分化为定积分。三是数形结合思想，借助几何直观，启发代数推理，或通过代数精确刻画几何性质，如导数的几何意义为切线斜率，二重积分的几何意义为曲顶柱体体积。四是函数与方程思想，将问题中的关系抽象为函数模型，如构造函数证明不等式、求最值，或建立方程（组）求解未知量，如微分方程求解、特征值问题。五是建模思想，将现实问题抽象、简化为数学模型，并利用数学工具求解，如微分方程模型。

1.2高等数学解题之术

在高等数学解题语境下，“术”之维度，为解题技艺的精熟运用，这是解题的载体与工具包，体现为对特定类型问题的具体操作程序与技巧。一是核心计算方法，如极限计算：洛必达法则、泰勒展开，导数计算：链式法则、隐函数求导，积分计算：换元法、分部积分法、有理函数分解，级数审敛法，微分方程解法：分离变量、常数变易法等。二是特定问题处理技巧，如处理不定式极限的转化技巧、处理抽象函数问题的构造辅助函数技巧、处理多重积分的坐标系选择与积分次序交换技巧、处理线面积分的参数化技巧。三是公式定理的直接应用。熟练运用中值定理、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等解决特定问题。四是逻辑推理与表达规范。严谨的数学语言表述、清晰的逻辑推理链条、规范的书写格式。

2.道术割裂，当前高等数学解题教学的困境审视

当前高等数学解题教学中，道与术失衡较为普遍。一是重术轻道的机械化训练。课堂大量时间用于演示特定题型的解题套路和模板，强调步骤的模仿与记忆，如看到这种形式就用这个公式。习题设计偏向题型固化、技巧堆砌，缺乏对问题本质及思想方法的深度挖掘。学员成为解题流水线上的熟练工，知其然不知其所以然。二是道术分离的抽象化说教。部分教学虽提及思想方法，但往往停留在抽象、孤立的层面，未能有机融入具体解题过程。学员难以体会思想如何指导实践，技巧又如何体现思想。三是应变乏力的综合化缺失。当题目形式稍有变化、条件隐含或需要多知识点综合运用时，缺乏道的引领，学员常感到无从下手，无法灵活调用和重组已有的术。这暴露了仅依赖术的脆弱性。四是理解浅表的思维惰性。过度关注答案正确性，忽视对解题思路形成过程的反思，比如为什么想到这个方法？这个技巧背后的思想是什么？学员思维停留在操作层面，难以形成对数学结构的深刻理解和迁移。

3.道术相生，解题能力提升的辩证路径

高等数学解题能力的真正提升，在于实现道与术的有机融合与相互促进。

3.1以道驭术，思想引领技艺

在概念教学中孕育道，讲授新概念如导数、定积分、级数时，着力揭示其产生的背景、物理与几何原型及核心思想，如“以直代曲”“无限累加”，避免直接给出形式化定义和冷冰冰的公式。在定理证明中彰显道，分析重要定理，如中值定理的证明思路，着重剖析其中蕴含的关键思想，如构造辅助函数、转化思想，将证明视为思想方法的示范。在解题策略中渗透道，面对问题时，引导学员先进行宏观思考这个问题本质上是什么类型，是极限、积分、方程？解决这类问题的核心思想是什么，逼近、转化、建模？让思想先行，为选择具体术指明方向。在方法选择中体现道， 讲解具体方法，如分部积分法时，不仅讲步骤，更要讲其设计初衷与适用场景所反映的思想，如化繁为简、转化乘积形式。

3.2 以术显道，技艺印证思想

 在技巧运用中深化理解， 通过大量、精心设计的变式练习，非简单重复，让学员在实践中体会特定术如何有效实现道的目标，如换元积分如何体现转化思想。在解法对比中升华认识，鼓励一题多解，引导学员对比不同解法，分析各自优劣及所依赖的核心思想。例如，求解某定积分，可用牛顿-莱布尼茨公式直接计算，也可能运用几何意义、对称性等进行计算，在比较中深化对道的理解。在错误分析中反思道，重视分析解题错误根源，是术的掌握不牢，比如计算失误、公式记错，还是道的理解偏差，比如方法选择错误、模型建立不当。通过反思，强化思想方法的正确运用。在建模实践中贯通道与术，设计军事应用问题，引导学员经历“问题抽象→建立模型→选择数学工具求解→解释结果”的全过程，深刻体会数学思想，建模、函数、方程等与解决实际问题技艺的紧密结合。

4.道术融合的教学案例

4. 1定积分概念教学与计算——无限累加之道与微元法之术

一是道的渗透。从求曲边梯形面积、变速直线运动路程等实际问题出发，引导学员体会“分割-近似代替-求和-取极限”这一核心思想，即极限思想、化曲为直思想，强调定积分本质是无限累加。二是术的教授。在理解思想基础上，引入微元法这一核心技术，如何选取面积微元，体积微元等，如何建立微元表达式，通过求面积、体积、弧长、功、压力等典型几何物理量，训练微元法的应用。三是道术的融合点。强调微元法正是无限累加思想的操作化体现，计算具体积分，如时，提醒学员这不仅仅是套用牛顿-莱布尼茨公式计算，更是对无限累加结果的精确求解，比较微元法与公式法，体会思想如何指导技巧的诞生。

4.2 多元函数极值问题——降维之道与临界之术

 一是道的启示。 解决二元及以上高维问题，核心思想之一是降维转化，对于二维极值问题，转化为研究一维方向上的变化即方向导数，或利用约束条件，根据拉格朗日乘数法实现降维。二是术的操作。教授求无条件极值的步骤，即求驻点→用Hessian矩阵判别，重点讲解条件极值的拉格朗日乘数法，即构造拉格朗日函数→求偏导找临界点。三是道术的融合点。强调拉格朗日乘数法的精髓在于通过引入乘子λ，将带约束的多元极值问题巧妙地转化为一个无约束的多元函数，即拉格朗日函数的临界点问题，完美体现了降维转化的思想，进一步分析乘子λ的几何与物理意义，如约束条件的梯度，加深对思想的理解。

结语

高等数学解题，绝非技巧的简单堆砌，亦非思想的空中楼阁，其精髓在于“道”与“术”的辩证统一与相生相长。在教学中自觉践行以“道”驭“术”、以“术”显“道”的理念，引导学员领悟思想精髓，精进解题技艺，定能使其摆脱题海桎梏，穿透技巧迷雾，实现从解题者向思想者的跃升。这不仅是提升高等数学教学质量的关键，更是培育创新人才数学根基的必由之路。

参考文献

[1]张明.高等数学学习中的“技术主义”倾向及其矫正路径[J]. 大学数学, 2023.  

[2]章建跃.大学数学课程思政与道术融合[J]. 中国大学教学, 2022.

[3]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M]. 上海: 上海科技教育出版社. 

[4]同济大学数学科学学院. 高等数学(第八版)[M]. 北京：高等教育出版社.