三角函数ω取值问题的多模态解法探究——基于高考真题的教学实证分析

摘要：在解决函数相关问题时，通常采用整体换元法.本文通过函数零点求解的等价性原理，从大单元教学的宏观教学视角出发，探讨了此类问题的解决策略，旨在提高学生解题的效率和准确性.

关键词： 三角函数  整体换元  等价转化

 一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）明确指出，三角函数、函数概念及其性质、多项式函数、指数函数、对数函数以及函数的应用构成了必修课程中函数主题的四个主要单元[1].此外，《标准》要求学生能够利用图像来理解参数的含义.

近年来，全国高考数学试卷对三角函数的考察，通常会结合其单调性、对称性、极值以及零点等函数特性，对学生的数学能力和学科素养提出了较高的要求. 本文从借助函数零点与方程的解、函数图象与x轴的公共点的横坐标的等价性角度，提出对一类有关相关问题的求解策略，并给出教学建议，以供参考.

二、策略研究与应用

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方法概述：通过整体换元法，将复合函数简化为基本函数，进而利用基本初等函数的图像及其相关性质进行求解，这是处理此类问题的根本途径.与例2相比，例1中的函数定义域区间一端为零，使得问题的思维难度和计算量相对较低.而例2在整体换元后，定义域的两端均变为变量，这无疑对学生的思维能力提出了更高的挑战.

策略二：利用函数零点与方程解的等价性

在精确求解函数零点或评估函数零点数量时，若直接法求解或评估零点数量遭遇难题，可借助函数零点与方程解、函数图像与x轴交点横坐标之间的等价关系进行转换.

方法概述：本方法基于函数零点与方程解的等价性，以及函数图像与x轴交点横坐标的对应关系，将函数零点问题转化为图像交点问题.在求解过程中，此方法使得解题思路更为直观，方法更为简洁，有效减少了思维和计算的负担.相较于策略一，在解决例2时，策略二的优势尤为显著.

三、策略的推广应用

四、教学建议

1.巧用思维切换，拓展解题路径

教师在教学过程中应重视设计多样化的数学问题，引导学生在不同数学思维模式之间进行有效转换，例如从代数思维转向几何思维，或从分析思维转向综合思维.教师应鼓励学生在面对问题时，不拘泥于单一的思维模式，而是尝试从多角度进行思考，以寻找最优化的解决方案.基于例1、例2的对比分析，学生需灵活转换整体换元（代数思维）与图像交点（几何思维）两种策略.研究表明，多视角解题可提升思维韧性[2].

2.优化单元整合，贯通思维脉络

《课标》强调函数主题的整体性（教育部，2020）。本文例3将三角函数单调性与直线斜率（必修二）关联，体现跨单元整合价值。在实施大单元教学策略时，教师应着重帮助学生将分散的数学知识点整合成一个完整的知识体系.在课堂教学中，教师应通过设计跨章节的综合问题，引导学生综合运用所学知识，解决实际问题.同时，在大单元教学中，教师应注重培养学生的自主学习能力，鼓励他们通过自主探索和合作学习，深入理解数学概念和原理.

3.深化数形结合，培育直观素养

在教学过程中，教师应充分利用图形和图像来辅助解释数学概念、原理和公式.教师应注意引导学生通过数形结合的方式，将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更易于找到解决方案[5].数形结合能降低抽象思维负荷[3]，例2通过图像交点替代复杂运算即为明证.同时，教师也应积极鼓励学生尝试用图形语言表达数学问题，培养他们的图形思维和空间想象能力，以提升学生的数学核心素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M].北京:人民教育出版社，2020.

[2]王伟.基于选择题场景处理与相关问题[J].中学数理化，2024(10)：18-20.

[3]李波.等价转化与数形结合的完美融合[J].高中数学教与学，2023(1)：13-14,57.

[4]姜华敏.例析三角函数中的取值范围问题[J]．中学数学研究，2021(8):45-47．

[5]黄伟亮.图像性质深挖掘 数形结合显神通[J].中学数学研究，2021(7):57-60．

[6]人民教育出版社课程教材研究所. 普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）[M]. 北京: 人民教育出版社, 2023: 155-156.