夯实基础 变式提升 ——从课标要求谈中考数学综合问题的应对策略

摘要：新课程标准对中考数学命题提出了新要求，指出要关注数学本质与通性通法，适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例．为更好地落实课程标准的理念要求，教师应跳出题海回归教材，加强对基本概念与原理的教学，在具体知识的教学中重视数学思想的渗透与突出数学的思维过程，在解题教学中注重变式拓展突出一般性方法以揭示数学的本质．研究以2024年广东中考数学压轴题为例，以波利亚的解题理论和国内的变式教学理论为指导，剖析解题的思维过程和解题教学的思路，探讨综合性问题的解决策略，强调数学课堂中基本概念与原理教学的重要性．

关键词：中考数学；变式教学；核心素养；解题策略

《义务教育数学课程标准(2022年版)》[1]指出，考试命题要坚持素养立意、凸显育人导向，要关注数学的本质、关注通性通法，适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例，综合考查“四基”“四能”与核心素养．课程标准对考试的要求直接影响教师的教和学生的学，同时也反映在中考命题改革上．以广东省为例，从2024年起，中考数学考试时长由原来的一个半小时增至两个小时，题量保持23个题目不变．但试题在保证基础的同时，加大了试题的阅读量，增强了题目的开放性、创新性和综合性，兼顾了基础性与选拔性的考试功能．中考数学命题特别是压轴题聚焦问题解决与关键能力、凸显数学思维与学科价值，这打破了原先按套路进行题海训练就能提高学业水平的教学方式，迫使教师转变教学理念进行教学改革．

没有套路、题海无效，如何基于新课程标准的要求破解中考数学中的综合性问题？一言以蔽之，就是要跳出题海回归教材，加强基本概念与原理的教学夯实基础，关注通性通法的运用，重视数学思想的渗透，突出数学的思维过程，强调变式揭示数学的本质．为此，教师需注重以波利亚的解题理论[2]和顾泠沅团队的变式教学理论[3-5]为指导，开展教学研究并能将之落实到具体的课堂教学中．波利亚的解题理论强调解题教学应围绕“理解题目-拟定方案-执行方案-回顾反思”四个步骤来展开，重视一题多解与多题一解，启发引导学生寻找解题的突破口、揭示解题的思维活动过程，教学生学会思考．而变式教学理论是极具中国特色的数学学习与教学理论，根据教学内容与教学过程的不同通常分为概念性变式和过程性变式两种类型．概念性变式强调多角度突出概念的本质属性以帮助学生深入理解概念，过程性变式强调数学活动的有层次推进以引导学生分步解决问题逐步形成知识与方法体系．下面以2024年广东中考数学第23题为例进行剖析说明．

1.原题呈现

【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数 的图象经过点A．

【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C．（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值．

【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．

2.题意剖析

该题阅读量和信息量都比较大，考查学生提取有效信息和综合运用相关知识解决复杂问题的能力．从题目呈现的信息看，涉及坐标系、正比例函数、反比例函数、矩形、正方形和圆等知识．在具体的解答过程中还涉及平行、相似三角形、直角三角形、等腰三角形、轴对称与勾股定理等相关知识．解决这类问题的核心是，学生要熟练掌握相应的基础知识，同时也要具备将复杂问题分解成一个个小问题以及从复杂图形中分拆出基本图形的能力．在这个过程中，将综合性问题转化为简单性问题，复杂图形转化为基本图形对应基础的知识，解决几何问题的关键——辅助线也自然生成．

此题的三个小问题中，第（1）问比较简单，这里不作分析，下面重点探讨第（2）问和第（3）问．问题（2）中的关键是矩形沿对角线BD折叠，点C的对应点E落到y轴上，这个过程就会形成全等三角形和相似三角形．因此要利用坐标的关系、矩形和轴对称的性质，考虑通过全等或相似建立起线段间的等量关系进而求得k．问题（3）矩形沿对角线BD折叠后点C与点A重合，容易发现此时正比例函数y=x，矩形是特殊的正方形．求⊙O与△ABC的边有交点对应k的取值范围，只需找到经过临界点B和临界点A、C时的k值即可．当⊙O与△ABC的交点为点B时半径OB=AC，当交点为点A、点C时半径OA=OC=AC，这里要建立起半径与AC和已知线段OP之间的联系求得相应的k值，涉及相似三角形、直角三角形和勾股定理的运用．在解决问题（2）和问题（3）的过程中，重点是要能构造出或者从复杂图形中分解出相似三角形．考查学生对相似三角形的几类基本模型的掌握，这里主要涉及到由相交线形成的“A”型图和“一线三垂直”型图，如下图4、图5．在图4中，由DE∥BC，可得．在图5中，由，可得到.

         图4                                                     图5

3.解答简析与变式拓展

3.1对问题（2）的思路分析

如图6，由点B（1，2）知．结合（1）和可以表示出点C（，2），A（1，k），得到D（，k）．由坐标容易得到DC=k-2，. 由翻折得到，由全等三角形可知   ∠BED＝∠BCD＝90°，且．

延长DA、CB分别交y轴于点H、F，由轴和矩形ABCD可知．由“一线三垂直”模型立刻得到，所以．又因为，，有，，所以．再由，有，得到．

图6

3.2对问题（2）的变式拓展

变式1：其余条件不变，点A的对应点为E，当点E落在x轴上时，求k的值．

变式2：其余条件不变，把矩形ABCD沿AC折叠，点D的对应点为E，当点E落在x轴上或者y轴上时，求k的值．

变式3：其余条件不变，点B的坐标为（m，am）时，求k的值．

以上变式的解题思路基本一致，可以帮助学生进一步巩固和深化对相应知识与方法的理解和运用．还可以进一步考虑将问题一般化，如将条件“矩形ABCD”变为平行四边形，或者将“反比例函数”变为某一个“二次函数”．

3.2对问题（3）的思路分析

把矩形ABCD沿BD对折后点C与点A重合，说明正比例函数y=x，且矩形为一个正方形．求⊙O与△ABC的边有交点时k的取值范围．考虑与点B相交和与点A、C相交两种情形下的k值即可.当⊙O 经过点B时，如图7，由OB=AC=BD=2AP和OP=OB+BP=3AP，再由相似三角形的“A”字模型建立起与k相关的等式可求得k. 当⊙O过点A点C时，如图8，由OA=OC=AC和OP⊥AC，得到△AOC为等边三角形，RT△AOP中∠AOP=30°，可求得AP及正方形边长，进而由相似三角形求出k．

                图7                                 图8

法一简析：

易知，矩形ABCD为正方形，y=ax的斜率a=1.

当过点B时，如图7所示，，解得，所以有，延长DA交y轴于点H．因为轴，所以OH⊥HD，又BA⊥AD，所以轴，则有．因此有，，得到，．即，将点A待入求得．

当过点A、点C时，如图8所示，连AO，CO，延长DA交y轴于点H，同理有．由，，可知为等边三角形且．所以，，进而有，.由知，所以，得到，．所以点，待入．

综上可得， k的取值范围为．

图9

法二简析：

如图9，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点G、x轴于点Q．同理有矩形ABCD为正方形，y=ax的斜率a=1，所以可以得到和是等腰直角三角形．由可求得点P的坐标为（3，3）.设，则点C的坐标为（3+m，3-m）．

当过点B时， ，解得.因为 是等腰直角三角形，所以m=1，即点C的坐标为（4，2），将点B待入求得．

当过点A、点C时，连结AO,CO，由，，可知为等边三角形且．在中，，，由勾股定理得，解得.所以点C的坐标为，待入．

所以，k的取值范围为．

4.结语

综合性问题往往由多个知识点有机组合而成．综上分析可以发现，培养学生解决综合性问题的能力不在于题海训练，而要在日常的课堂教学中夯实基础．教师要重视对基础知识的教学，并在基本概念与原理的教学中渗透数学思想方法、强调知识的生成过程．在巩固环节递进式增加难度，通过变式拓展加强对知识的深化与理解．让学生逐步学会思考获得解决问题的能力，通过一题多解、多题一解突出通性通法揭示数学本质，形成知识与思想方法的体系结构．

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2022年版)[S]．北京:北京师范大学出版社，2022．

[2]波利亚．怎样解题[M]．上海：上海科技教育出版社，2007．

[3]顾冷沅．教学实验论:青浦实验的方法学与教学原理研究[M]．教育科学出版社，1994．

[4]顾泠沅，黄荣金，F·马顿．变式教学：促进有效的数学学习的中国方式[M]//范良火，黄毅英，蔡金法，李士铸．华人如何学习数学．南京：江苏教育出版社，2005：247-273．

[5]顾非石，顾泠沅．诠释“中国学习者悖论”的变式教学研究[J]．课程．教材．教法，2016，36(03):86-91．

作者简介 吴晓敏( 1982—)，女，广东四会人，学士，中学一级教师，佛山市名南海区狮山镇数学骨干教师; 主要从事中学数学教学和德育研究．