活动的内化，指向深度学习

摘要：对于数学活动，教师应该用头脑去把握相应的操作行为。活动过程中，抓住学生认知的变化，引领学生经历关联思考，内化数学活动，凸显数学思想，将学习指向深处，使学生最终通过数学学会思维。

关键词：数学活动 变化 联系 内化 深度学习

关于“数学活动”，《义务教育数学课程标准》自2001年首次在实验稿总体目标中对“数学活动经验”提出要求，到2011年版的再次强调，再到如今2022年版在“课程理念”“总目标”“学业质量”等方面的进一步明确，使得在过去的20多年中，很多教师对“活动”情有独钟，数学教学的活动化倾向进一步得到强化。郑毓信教授指出：数学教学的这种“活动化倾向”有一定的合理性，但相对于“活动化倾向”，我们应该更加强调 “活动的内化”，促进学生的积极思考。这给数学教师重新认识“数学活动”提供了很好的视角，促使教师思考如何引导学生通过数学活动，更深入地去认识活动对象的数学本质。

一、抓住“变化”，打通堵点

无变化，非学习。贲友林老师在思考的“四个阶段”中提到：只有学生的想法发生了变化，学习才真正发生。张齐华老师在日常教学中，也提醒学生在互动交流中，关注各自观点之间的异同，并明确了交流要求：“‘说’的同学，……说清后来又做出了怎样的改变。”学生的学习是主动建构的过程，其中的“变”正是学生对原有经验和认知重新审视，进行完善、改造和重组的过程。

 如在教学苏教版三上《轴对称图形》这一课时，很多教师会发现，学生对“一般的平行四边形是不是轴对称图形”往往有争议，于是水到渠成引出动手操作——对折，在学生动手操作后，得出一般的平行四边形不是轴对称图形的结论。到此，从“初步判断——动手验证——得出结论”整个数学活动的组织，似乎完成了教材中“试一试”的教学任务，达成相应的教学目标。学生经历了这样的数学活动，真的学会思维了吗？显然，脱离了数学思考的操作，只是简单活动程序的巩固。在教学中，笔者抓住学生认识的“变”，进行了进一步的引导：

师：刚才有一部分同学认为平行四边形是轴对称图形，现在一致认为不是。是什么让你们改变了这一判断？

生1：对折。

生2：我一开始只是用眼睛看，发现折痕的两边是完全一样的，就做出判断了，没有再动手对折。

生3：我一开始跟生2判断的方法和结论是一样的，现在我发现，我把两边“完全一样”和“完全重合”两个概念混淆了。

生4：我也发现了，两边“完全重合”和“完全一样”不是一回事！

教师借机出示了几幅有代表性的图（如下图）：

 带领全班学生观察，沿着这些折痕看，两边确实完全一样。在此基础上再想象对折后的样子，学生在头脑中勾画出不能完全重合的画面，形成判断的完整过程。

轴对称图形是指轴对称特征的一类图形，它是在反射的运动中形成的。学生之所以出现这种错误判断，是由于学习个体的差异性，有些学生眼前只有静态的图形，无法通过心理操作完成判断和推理，只靠直觉——“看”去判断，误将“两边完全一样”作为判断的依据，而当他们动手操作后，发现平行四边形的两边不能“完全重合”。但此时，学生对“对折”“完全重合”这两个关键要素的认识仍只停留于动手操作层面。

在笔者看来，用头脑去把握相应的操作行为，并将此作为思考分析的对象，才能推动学生想得更清晰、更深入、更合理。教学中，学生对于“是什么让你们改变了这一判断”的思辨，敞亮了内隐的错误认识，打通了认知冲突的“堵点”——“完全一样”和“完全重合”的混淆，彻底明朗了对“轴对称图形”模糊的认识。对错误的自我修正过程，使学生对概念的认识不再是一个封闭性的、结论性的知识，在思维之门的开启之下，是空间表象的逐步建立。

最后，教师组织学生在头脑中对平行四边形对折过程进行动态化处理，将轴对称图形的认识从静态可视拓展到动态想象，实现了从直观水平到抽象认识的跨越，学生的思维水平得到了空前的优化。

二、沟通“联系”，融合理法

国际数学教育界对“联系”的观点十分关注，“找出各种事物之间的联系是教育家们竭尽全力思考的问题……当学生能够用相互联系的观点看待各种事物的时候，他们的学习生涯就开始了。我建议把发现事物之间的联系当作基础学校课程的首要目标。”（多琳语）。贲友林老师常跟学生说：“学习，就要这样，看看这边，看看那边，联系起来，又有新的发现。”因此，教师要从数学的本质出发，引导学生用联系的观点进行分析思考，才能让学生的思维走向深处。

在笔算除法计算的教学中，计算的程序和算理是教学的重难点。如果在动手操作和符号语言之间建立一种联系，就能有效地突破难点、突出重点，顺利达成算理算法的融通。

如教学苏教版三上《笔算两、三位数除以一位数（首位能整除）》一课，教师引导学生摆小棒后，列出竖式并计算。可练习中，仍然有学生出现如下的错误格式：

 然后教师反复强调竖式书写的格式和顺序，并进行强化练习，直至“掌握”。这种“头痛医头”的方式，看似学生“会算”了，实则掩盖了“理解”。究其原因，在学生借助小棒动手操作、利用直观思考、列出竖式后，各方法间仍是点状离散的。（如下图）

操作与计算呈两张皮，算法脱离了算理的支撑，学生对算法的掌握仍停留在算法程序的记忆上。缺少“数学活动”内化的过程，导致运算思维的断层，难以形成数学思维。

“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联”（郑毓信语）。因此，在学生列出竖式后，再次沟通动手操作、分步列式、竖式计算之间的联系（如下图所示），帮助学生有意义地理解除法竖式计算过程及算理，实现数学现象和数学符号的相互融通，层层落实思维目标，促进学生核心素养的形成。

竖式作为一种抽象的符号语言，在摆小棒的操作活动中抽象成数学表达，对于三年级学生的数学思维水平来说，有一定的难度。这里将分步列式作为连接具体操作与符号语言的桥梁，40÷2=20、6÷2=3这两道除法算式，清晰地体现了两次分的过程，明晰了算的程序，从而突破“理解并掌握除法竖式中的分段计算”这一教学难点。

再让学生结合小棒操作过程说说竖式中每一步计算的意义，寻找操作程序背后的数学内涵。这样，从符号语言再回到具体数学操作，沟通了显性的操作活动和隐性的思维活动之间的融合统一。在具体——表象——符号化过程中，感受竖式的符号语言对数学现象的高度浓缩与抽象过程。

三、探究“根源”，凸显思想

开放的问题，探究的路径往往是多条的，方法是多样的。课堂上，教师鼓励学生从不同的角度出发，分析思考，在相互启发中不断打开思维的通道。苏教版五上《多边形的面积》一单元在“整理与练习”部分编排这样一道思考题：

教材这样编排的意图是，鼓励学生通过剪、拼等操作活动，用不同方法推导三角形和梯形的面积公式，有助于学生锻炼思维的灵活性和开放性，增强探索意识和创新意识。

下面以三角形面积推导为例，学生用一个三角形（设锐角三角形的底为a，高为h），通过剪、拼等操作活动，想到了以下几种方法：

当学生在原有认知系统中纳入一种又一种推导方法后，是否达到了寻求多种方法的目的——为了尽可能多的给个体的认知增“量”？显然不止于此。我们不能局限于教材的表面之处，需重新审视各种方法，道出这些方法的理，寻求这些方法背后的根，抽象出这些方法的数学模型，助力学生高阶思维的发展。

因此，在学生交流这四种方法后，持续推进研究，引导学生观察，这四种方法有什么联系？ 

生1：我发现，第②③④种方法都是把三角形转化成长方形的面积推导的。

生2：我发现，前面三种方法转化前后图形的面积不变，所以只要求出长方形或平行四边形的面积就可以推出三角形的面积；而最后一种转化成的长方形面积是三角形面积的一半，所以求出长方形的面积后乘2才能求出三角形的面积。

生3：我对生2的发现有补充，第①②两种，转化前后底相等，高是三角形高的一半；第③种，转化前后高不变，底是三角形底的一半。所以，三角形面积公式中有“÷2”。

师：回忆我们新授课中推导三角形面积的方法，你又有什么发现？

生1：新授课中是用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，再推导的；这里只用了一个三角形推导的。

生2：但是不管哪一种方法，最终我们都是先转化成以前学过的图形，根据转化前后底、高、面积的关系来推导三角形面积的。

……

知识是外在于人的，在感悟的过程中内化于人的认知体系中，让思维积淀，才能称为“素养”。在教师的引领下，对教材潜隐性资源进行再开发、再创造。几种推导方法，通过学生深入地观察对比、综合分析、内向反思，从高位聚焦不同方法间推导过程的一致性，抽象出三角形面积公式推导的数学本质。再将新知纳入已有的认知中，丰富原有的认知结构，构建更为一般化的理解和思考，凸显“转化”的数学思想，让学生形成带得走的智慧。

数学教学必须超越具体知识和技能，深入思维层面，从具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升（郑毓信语）。当教师关注学生的数学活动内涵，引导学生向思维的深处探寻，使之生长，那么，通过数学，学生自然就学会思维了。

【参考文献】

华应龙，贲友林，张齐华，罗鸣亮，朱国荣，吴贤等.深度学习的模样[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.6.