《二次函数》教学设计

一、教学目标

学生能精准阐述二次函数概念，牢记其一般表达式。能熟练依据各类实际问题列出二次函数关系式，准确界定自变量取值范围，能运用相关知识对给定函数进行二次函数判定。  借由对多个实际问题情境深入剖析，学生充分经历探索、归纳二次函数概念的完整过程，深度体会函数与数学建模思想。在思考、讨论、解答过程中，显著提升观察、比较、分析、归纳等逻辑思维能力。  切实感受数学广泛应用于生活，从而激发对数学学习的浓厚兴趣。在探究活动里，培养勇于探索、敢于突破的创新精神，增强面对数学难题时的信心 。

二、教学重难点

（一）教学重点

1.二次函数的概念和一般表达式。

2.根据实际问题列出二次函数关系式。

（二）教学难点

1.从实际问题中抽象出二次函数的模型，确定自变量的取值范围。

2.理解二次函数概念中 这一条件的必要性。

三、教学方法

（一）讲授法

在《二次函数》教学中，讲授法至关重要。教师精心准备，将二次函数的概念以清晰、严谨的方式呈现给学生。详细阐释二次函数一般表达式 （）里每一项的含义，强调 这一关键条件的缘由。通过列举不同形式的函数示例，对比分析其与二次函数的差异，加深学生对概念的理解。对表达式的讲解，结合具体数值，从简单到复杂，让学生明白如何确定各项系数。如此，确保学生准确无误地领会二次函数的核心要点，为后续学习筑牢基础。

（二）讨论法

组织学生围绕实际问题展开讨论是教学的重要环节。教师给出如物体自由落体高度与时间关系、销售利润与价格调整等实际情境，引导学生分组探讨。在小组中，学生们各抒己见，分析问题中的变量与常量。通过合作交流，共同探寻建立二次函数模型的思路。有的学生提出设变量的方法，有的学生思考如何找出变量间的等式关系。在思维碰撞中，学生不仅学会建立二次函数模型，还培养了团队协作与沟通能力，深刻体会到数学知识在解决实际问题中的强大作用。

（三）练习法

课堂练习是巩固《二次函数》知识不可或缺的手段。教师精心设计形式多样的练习题，涵盖根据文字描述列函数关系式、判断给定函数是否为二次函数、利用已知条件求二次函数系数等类型。学生在练习过程中，将刚学的概念与表达式运用到实际解题中。每完成一道题，都能加深对知识的理解与掌握。做完练习后，教师详细讲解，针对学生的错误进行分析纠正，帮助学生总结解题方法与技巧，从而切实提高学生运用二次函数知识解决各类问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课

展示一些生活中常见的抛物线形状的物体，如喷泉的水流轨迹、投篮时篮球的运动轨迹等图片或视频。

提问：同学们，这些物体的运动轨迹或形状都有什么共同特点？你们能想到用什么数学知识来描述它们吗？

引导学生观察并思考，引出本节课的主题 —— 二次函数。

（二）讲授新课

1. 探究实际问题中的数量关系

问题1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，那么果园橙子的总产量与之间的关系如何表示？

引导学生分析：增种 x棵树后，共有棵树，每棵树结果个，所以总产量，展开得到 。

问题2：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积与矩形一边长之间的关系是什么？

学生思考后回答，教师引导得出：另一边长为 ，所以 。

2. 归纳二次函数的概念

引导学生观察与这两个式子，思考它们有什么共同特点。

学生小组讨论后，教师总结：它们都是整式函数，自变量的最高次数是2 。

给出二次函数的概念：一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中 x是自变量，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

强调 的原因：若 a = 0，则 就变成了一次函数。

（三）例题讲解

例1:判断下列函数哪些是二次函数：

分析：根据二次函数的定义，判断函数是否为整式函数且自变量最高次数为2，同时二次项系数不为0。

解：是一次函数；是二次函数；不是整式函数，所以不是二次函数；是二次函数；对化简得 ，是一次函数。

例2:已知二次函数，当 时，；当时，。求 b和 c的值。

分析：将 x和 y的值代入函数表达式，得到关于 b和 c的方程组，求解方程组即可。

 解：把 代入 得；把，代入得 。将 代入 ，得，解得。所以 ，。

（四）课堂练习

教材课后练习题

1.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。

2.正方体的表面积与棱长 之间的函数关系；

3.圆的面积 与它的周长之间的函数关系。

4.已知二次函数 ，当时，；当时，；当 时，。求的值。

5.学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。

（五）课堂小结

引导学生回顾本节课所学内容：

1.二次函数的概念及一般表达式。

2.如何根据实际问题列出二次函数关系式。

3.求二次函数中系数值的方法。

4.请学生分享自己在本节课中的收获和疑惑。

（六）布置作业

基础作业：教材习题中相关练习题，巩固对二次函数概念和表达式的理解。

拓展作业：让学生寻找生活中还有哪些实际问题可以用二次函数来描述，下节课进行分享。

五、教学反思

在本节课的教学过程中，通过展示生活中的实际例子引入新课，激发了学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。在讲解二次函数概念时，让学生通过对实际问题的分析和归纳，自己总结出二次函数的特点，培养了学生的观察和归纳能力。但在教学过程中，发现部分学生对于从实际问题中抽象出二次函数模型存在困难，在今后的教学中应加强这方面的训练，多提供一些实际问题让学生进行练习，引导学生逐步掌握建立数学模型的方法。同时，在例题讲解和练习环节，应更加关注学生的个体差异，对于学习困难的学生及时给予指导和帮助，确保每个学生都能掌握本节课的重点知识。