基于导数视角的三次函数零点求解策略模型构建研究

摘要：三次函数在高中数学中具有重要地位。本文深入探讨基于导数视角的三次函数零点求解策略，通过对三次函数的性质分析，结合导数工具，构建系统的求解模型。详细阐述不同情况下的求解思路与方法，并通过实例加以说明，为高中数学教学与学习提供有效参考。 

关键词：三次函数；导数；零点求解；高中数学；策略模型 

在高中数学学习中，函数是核心内容之一。三次函数作为一类重要的函数类型，其零点求解问题一直是教学与学习的重点和难点。导数作为研究函数性质的有力工具，为三次函数零点的求解提供了新的视角。然而，学生在面对三次函数零点求解问题时，往往感到困惑，缺乏系统的求解策略。因此，对基于导数视角的三次函数零点求解策略模型构建进行研究具有重要的现实意义。本研究旨在通过深入分析三次函数的性质以及导数在其中的作用，构建一套切实可行的求解策略模型，帮助学生更好地掌握三次函数零点求解方法，提高数学思维能力和解题能力。

一、三次函数的单调性与导数关系

（一）三次函数的单调性与导数关系

在高中数学教材中，三次函数的一般形式为f（x）=a。利用导数来分析三次函数的单调性是一种重要方法。首先求导可得x)=。对于二次函数，其判别式。当时，(x)恒大于 0 或恒小于 0。若a>0，(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；若，(x)<0，函数f(x)在R上单调递减。例如，函数f(x)=-3x，求导得(x)=。当x<-1或x>1时，(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，(x)<0，函数单调递减。

（二）三次函数的极值点与导数求解

由导数与极值的关系可知，当(x)=0时，对应的点可能是极值点。对于三次函数f（x）=a，令=0，解这个二次方程可得到可能的极值点横坐标。

例如，函数f（x）=，求导得(x)=-12x+9=3(x-1)(x-3)。令(x)=0，解得x=1或x=3。当x=1时，函数取得极大值f(1)=1-6+9+2=6；当x=3时，函数取得极小值f(3)=27-54+27-2=2。

（三）三次函数的凹凸性与二阶导数判断

再次对三次函数求二阶导数可以分析其凹凸性。对于f（x）=a，6ax+2b。当时，函数图像为凹的；当时，函数图像为凸的。例如，函数f(x)=，求二阶导数得x-6。当x>1时，，函数图像为凹的；当x<1时，，函数图像为凸的。

二、不同情况下三次函数零点求解策略与实例

（一）利用导数确定三次函数单调性以判断零点个数

在高中数学教材中，三次函数的一般形式为。导数在分析三次函数性质方面起着至关重要的作用。首先对三次函数求导可得(x)=。；例如(2023．全国.高考真题）函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（)A.(-,-2)B.(-,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)，其答案为B，解析求写出f'(x)=3+a，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可，详解其f(x)=+ax+2，则f'(x)=3+a,若f(x）要存在3个零点，则f(x）要存在极大值和极小值，则a<O，令f'(x)=3+a=0，解得x=-x=，且当x∪时，(x)>0，当x（-x=）时，(x)<0，故f(x）的极大值为f(-），极小值为f(-。若f(x）要存在3个零点，则f(-）>0,f(）<0,即 -a+2>0, +a+2<0,解得a<-3。

（二）结合图像特征与导数分析三次函数零点

三次函数的图像特征对于求解零点有着直观的线索作用。例如在高考中，以函数为例。首先对该函数进行变形，提取公因式x，可得，f(x)=x()=x(x-1)(x-3)由此可直接看出函数的零点为x=0，x=1，x=3。观察其图像，当函数中对应系数大于时，函数图像大致从左下方向右上方延伸。在趋于负无穷时，函数值趋于负无穷；在趋于正无穷时，函数值趋于正无穷。

对函数求导，(x)=。令(x)=0，解方程，可得x=。当x或x>时，(x)>0，函数单调递增；当<x时，(x)<0，函数单调递减。通过分析函数的单调性和极值点，可以画出函数的大致图像。图像的转折点即极值点，极大值点和极小值点的位置以及函数在这些点处的取值能够帮助我们确定零点的个数和位置。此外，还可以通过分析函数在特殊点处的取值来判断零点的情况。比如，当x=0，x=1等特殊点处的函数值，可以为零点的存在提供线索。

（三）运用代数方法与导数综合求解三次函数零点

除了利用导数和图像分析，代数方法也可以用于求解三次函数的零点。以函数f（x）=为例，可以尝试通过因式分解的方法来求解零点。首先，观察函数表达式，发现x是一个公因式，可以先提取出来，得到f(x)=x(-5x+6)。然后，对括号内的二次三项式进行因式分解，得到f(x)=x(x-2)(x-3)。这样，就可以直接得出函数的零点为x=0，x=2，x=3。另外，还可以使用韦达定理来辅助求解三次函数的零点。对于一般的三次方程a=0，如果已知其中一个根，可以利用韦达定理来求解其他两个根。设方程的三个根为，则有，++=，。例如，已知方程的一个根为x=1，设另外两个根为和。根据韦达定理可得=6，即=5；；=-。通过解方程组可以求出另外两个根。同时，导数也可以与代数方法结合使用。在进行因式分解时，可以先通过求导确定函数的单调性和极值点，为因式分解提供一些线索。模拟题型：已知函数g(x)=。首先观察函数表达式，尝试代入一些特殊值看是否能找到一个根。当时x=2，g(2)==0，所以x=2是函数的一个根。然后利用综合除法或长除法将g(x) 除以(x-2)，得到g(x)=(x-2)。对进行因式分解，得到g(x)=(x-2)(x+1)(x+3)。从而得出函数的零点为x=2，x=-1，x=-3。

三、结语

总而言之，基于导数视角对三次函数零点求解策略模型的构建，为高中数学教学与学习提供了有力工具。通过对三次函数性质的深入分析以及导数的巧妙运用，我们能够更加系统地解决零点求解问题。在教学中，应引导学生掌握这一策略模型，培养他们的数学思维和解题能力。同时，不断探索和创新教学方法，使学生更好地理解和应用三次函数零点求解策略，为他们在数学学习的道路上奠定坚实基础，提升高中数学教学的整体质量。 

参考文献

[1] 王晓东.对一道三次函数零点问题的探究[J].中学数学教学参考, 2021(21):3.

[2] 李素英.利用导数探究三次函数的性质[J].数理化解题研究：高中版, 2015(10):2.