一次函数与正比例函数

一、教材分析

   《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级上册第四章第二节内容，学生掌握了变量之间的关系、函数概念的基础上继续学习本节内容。一次函数的研究方法具有一般性和代表性，为学习后面反比例函数、二次函数奠定了基础，起承上启下的作用。

二、学情分析

    认知基础：学生刚学习了函数概念，在应用理解时并不是很熟练、透彻，需要通过本节内容进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。

    活动经验基础：在第一节函数的学习中，学生已经接触了较为丰富的生活实例，他们的参与意识和活动能力都很强，有一定的生活经验，因此在教学时，教师应结合学生的生活实际和认知状况，选择丰富的生活素材，启发学生从实例中归纳出一次函数的概念，加深理解，体会数学的广泛应用。

三、教学目标

1. 经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识。（教学重点）

2. 理解正比例函数和一次函数的概念，能根据多给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。（教学难点）

四、教学过程

（一） 复习回顾，情境导入

（1）什么是函数？(函数是指在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与他对应，称y是x的函数。)

（2）函数有哪些表示方法？(一般有三种：列表法、关系式法和图像法。)

（3）生活中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能否举一些例子？

老师为大家带来一个工具，弹簧测力器和砝码，请几个同学上讲台演示，下面的同学认真观察，你有什么发现，能提出什么数学问题？

学生发现：弹簧的长度随着所挂砝码的质量的增加而增加，也就是弹簧长度是所挂物体质量的函数。

生提出问题：弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系究竟是一种什么样的函数关系呢?这就是我们今天要学习的----板书课题4.2正比例函数和一次函数

【设计意图】复习旧知，为本节课学习做好准备，并且通过设计操作活动，培养学生用数学的眼光观察现实世界，在生活中发现数学问题，提出问题。

（二）任务探究，形成概念

情境任务1某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm。

(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg…xkg时的弹簧长度,列表并填表:（2）你能写出x与y之间的关系式吗?     （3）弹簧的长度是否会无限延长？（不会,弹簧长度与所挂物体质量有关，在实际问题中自变量的取值范围是有限的，这样的关系式只在自变量的取值范围内成立。）

情境任务2

某辆汽车油箱有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.

(1)列表完成表格:(2)你能写出x与y之间的关系式吗?汽车行驶的路程x可以无限增大吗? y=0.12x(3)你能写出油箱剩余油量z与汽车行驶的路程x之间的关系式吗呢? z =60-0.12x

情境任务3

如图，甲、乙两同学家相距3.5千米，现在他两约定甲先到乙家，然后乙家长开车从乙同学家出发去绛北大峡谷，以80千米/时的速度向绛北大峡谷行驶。设x（时）表示汽车行驶的时间，y（km)表示汽车与甲家的距离。写出y 与 x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；y=3.5+80x   y是x的一次函数

【设计意图】三个情境都与实际生活紧密相连的，是学生熟悉的生活模型。第一个情境是跨学科学习，第二个情境是汽车行驶问题，这两个问题以学生熟悉的形式呈现，让学生经历列表并从中找出常量和变量，建立并表示一次函数的模型过程，第三个情境是脱离表格与梯度问题铺垫，让学生经历独立的思维过程，培养学生的数学思维。

问题链:（小组交流）

（1）观察上述关系式，归纳总结它们有什么相同之处和不同之处？（所含的代数式都是整式，自变量的次数都是1；自变量的系数不确定，常数项不确定。渗透归纳思想）（2）你能表示出这些关系式的一般形式吗？（y=kx+b，经历从特殊到一般的过程）

追问:

（1）k能否为0？若为0，将如何？（y等于常数，不是函数）

（2）b能否为0？若为0，将如何？（y=kx）

归纳概念：若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，即y=kx，称y是x的正比例函数.

【设计意图】问题链中的2个问题，引导学生观察，概括上面实例中所表达的共性，通过归纳总结，进而抽象出一次函数与正比例函数的概念以及一般表达式，这样有助于学生把握概念的本质特征，培养其抽象思维能力和归纳概括能力，感受从特殊到一般的数学思想方法。

(三) 概念辨析，深化理解

思考：一次函数与正比例函数有什么区别和联系？

正比例函数是一次函数的特殊情况，所以正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，它们是包含关系

辨析：判断随堂练习中函数关系式，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？注意：再次强调一次函数是整式，且x的次数是1。

    【设计意图】通过思考问题和辨析题，让学生巩固概念，理解概念，把握概念本质特征，真正理解并掌握基本的数学知识。

（四）例题讲解，运用新知

例1 写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；(2)圆的面积(厘米2)与它的半径(厘米)之间的关系；(3)某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。

例2 自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是： 每次收入不超过 800 元的，预扣预缴税款为0：每次收入超过800元但不超过4000元的， 预扣预缴税款＝（每次收入﹣800)x 20%:....．如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预 扣预缴税款（2000-800)x20%=240（元）.

（1）当每次收入超过 800元但不超过4 000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 y（元）与每次收入x（元）之间的关系式；（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税 600元，那么此人这次取得的劳务报酬是 多少元？

【设计意图】两个例题，由浅到深，例1设计了一组比较简单的问题，使学生进一步理解、巩固一次函数与正比例函数的概念。例2给学生足够的审题和思考时间，旨在提高学生应用一次函数知识解决问题的能力，并养成用数学的思维和方法解决生活中遇到的实际问题的能力。

（五）回顾总结，强化新知

本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？

1、一次函数与正比例函数的概念和关系；

2、依据实际问题的意义，建立模型，会列一次函数与正比例函数的表达式；

3.数学思想方法：归纳，从特殊到一般，建模。

【设计意图】归纳小结，提炼升华，使知识更加系统化，培养学生概括能力、语言表达能力，使每个学生都体验到成功的喜悦，同时养成良好的反思习惯。

（六）当堂检测，反馈矫正  

 基础知识：1．写出下列各题中 y 与 x 间的关系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？(1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m，小球的速度 y ( m / s ）与时间 x ( s ）之间的关系；(2）周长为10cm的长方形的一边长为 x cm ，其面积 y (cm2)与 x ( cm ）之间的关系．

 问题解决：2．电信公司手机的 A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元／ min 计．

 (1）写出每月应缴费用 y （元）与通话时间 x ( min ）之间的关系式；

 (2）某手机用户这个月通话时间为180 min ，他应缴费多少元？

 (3)如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？

 (七)作业布置，培养兴趣 

 完成课本81页读一读“中国古代漏刻”。漏刻是中国古代人民的智慧结晶，也是一个一次函数的创造性应用。

 查阅资料，从生活中发现应用一次函数的更多实例，随后一起交流分享。