“圆”来很完美 ——以2023年新疆中考第22题为例的一题一课单元复习

一、现状分析

目前初中数学复习课，教师们大多满足于知识点复习、例题讲解、快速解题、反复训练等浅显层面。学生面临“旧知识，无新意；内容多，时间少”的问题，导致学习节奏紧张，课堂缺乏活力，学生难免出现学习倦怠。特别是当面对综合题时，许多学生往往不知该从何下手，如何将复杂的综合题化繁为简，教师如何沿着学生的认知路径展开复习，如何帮助学生克服对综合题的恐惧，增加数学学习的自信等，这些都是在初中数学单元复习课的实践教学中非常有价值探讨的。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以 下简称“新课标”）在“教学建议”中也提出要“整体把握教学内容”，强调要“引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构”。基于此认识，我们提出：利用“一题一课”的课堂模式将单元知识复习与问题解决相结合，通过低起点的问题先导、系统化的建构联系、螺旋式的变式拓展、多维度的提炼反思，促成知识点、知识结构及数学思想方法的深度融合。

二、教学目标

1.在例题的分析过程中，回顾并进一步理解圆的相关概念及性质，培养学生归纳总结的能力，能把圆的知识系统化，形成自己的知识体系。

2.通过例题的探究，能在圆的复杂图形中梳理出求解线段长度的基本思路，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。

3.在小组探究中通过获得成功的体验，学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，感受数学思想在圆与三角函数问题中的应用，积累数学建模的经验，增强应用意识，发展核心素养。

4.通过课堂学习熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质，激发学生对数学学科学习的热情，培养学生勇于挑战难题的精神，在解决圆的综合问题时，不怕困难，积极思考。

三、教学重点和难点

重点：进一步理解圆的相关概念及性质，学会把圆中线段问题转化成三角形或特殊三角形解决问题。

难点：从复杂图形中挖掘信息，学会把圆中线段问题转化到三角形或特殊三角形中解决。

四、教学过程设计

活动1   识图

如图1，AB是的直径，在圆上取一点C，使，你能得到哪些边或角的位置和数量关系？（至少写2条）

预设回答：CF=BC

∠FOC=∠COB

∠A=∠BOC          （圆周角定理）

AF//OC              （平行线的判定）

∠A+∠BCF=180°、∠B+∠F=180°       （圆的内接四边形的性质）

【设计意图】通过低起点的问题入手，鼓励人人都能积极参与课堂，激发学生学习兴趣的同时回顾圆的相关概念和性质，梳理圆中弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系等，既用实例复习圆中的核心定理，又为后续进一步解决圆中边、角关系提供了有效依据。

活动2   探图

如图2，在图1的基础上，再连接图形中的一条线段，结合之前我们学习过的几何知识你能得到哪些新的结论？（任选其一进行说明）

预设回答A：连接AC，可以得到∠ACB=90 °，由圆周角定理和等角对等边可以得到∠FAC=∠CAB=∠ACO ，从而得到AF//OC，AC是∠FAB的平分线。

预设回答B：连接BF，得到∠AFB=90 °，由垂径定理可以得到OC垂直平分BF。

【设计意图】学生通过添加不同的辅助线，进一步巩固圆中的核心定理，如圆心角定理、圆周角定理、垂径定理等,不断完善圆中定理的复习内容。

活动3   研图

（1）如图4，在图1的基础上，过点C作AF的垂线交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E ，你能得到哪些新的结论？（至少写1条）

预设回答：DE是的切线    

△EOC∽△EAD     

（2）如图5，连接AC，BF，你还能得到哪些新的结论？（至少写2条）

预设回答：△ADC∽△ACB、△ACE∽△CBE、△AFB∽△ADE

BF//DE   

【设计意图】（1）（2）通过继续添加辅助线，再现“新大陆”，发现图形中蕴涵着切线、直角三角形、相似三角形等，进一步让学生体会复杂图形中的边角关系，这些都为后续解决圆中计算线段长度问题提供了不同的方法和思路。

（3）如图6，AB是的直径，在圆上取一点C，使，连接AF ，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E ，若，BE=4，求的半径．

师生活动：小组讨论，派代表回答，教师板书。

预设回答：法1    

法2   

法3   

归纳总结：解决圆中计算线段长度的问题常用方法

1.找现成的直角三角形，利用三角函数或者勾股定理求解。

2.构造一个直角三角形

3.等角转化

追问：你还能求出哪些线段长度吗？

预设回答：AB、AC、BC、OE、AD、AF、BF等，即圆中的线段都能求。

【设计意图】求半径是解决圆中线段问题的关键，也是学生比较熟悉的，通过小组讨论能快速让学生回忆起解决此类问题的常用方法，为后续求FH的长度积累经验。

（3）在图6的基础上，再添加一个条件：如图7，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．若，BE=4，你能求出FH的长度吗？  (小组讨论，合作完成)

追问：你还有不同的解法吗？

预设回答：法1  

法2  

法3  

【设计意图】再添加一条垂线段，原本图形变得更加复杂，需要学生在复杂图形中找到边角关系，确定基本图形类型，利用相似或者三角函数等知识建立模型求解线段长度。同时积极引导学生探究一题多解，使圆的复习层层深入，与所学的几何知识多方位联系,真正拓展了学生的思维。

活动4：品图

如图7，AB是的直径，点C，F是上的点，且∠CBF=∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．（2023年新疆中考第22题）

（1）求证：CE是的切线；   （2）若，BE=4，求FH的长．

以题凝智，总结提升

【设计意图】链接中考真题,让学生感受中考题并非想象中那么难，一切问题都可以通过一步步的拆解得到解答。在解题之后还要适时提炼，让学生体悟解决复杂问题的一般思路，逐步形成模型观念。

活动5：用图

如图7，AB是的直径，点C，F是上的点，且∠CBF=∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．若，BE=4，求的比值. 

【设计意图】有了前面的探究过程，这一环节显得顺理成章,在原有题目的基础上进行稍许的变式，学生可以沿着本节课的学习路径利用相似或者三角函数建立与AH有关的边角关系。 既能培养学生举一反三的能力，又能发展学生数学建模的核心素养，体现了图形与几何的应用价值。

课堂小结

1.通过本节课的学习，解决圆的综合问题，可以从哪些角度出发得出结论？

2.如何运用这些结论，将问题转化为三角形，尤其是特殊三角形问题？

3.研究过程中应用了哪些思想方法？

【设计意图】通过问题引领，让学生回顾本节课的学习内容，总结自己在学习中的得与失。

五、课后反思

本课采取的是一题一课的教学模式，“一题”即指问题的题干不变，依托同一个问题背景或情境，从某些重要的知识、方法或模型运用等为切入点，将平时学习中割裂的、碎片化的知识有效联结起来，系统架构，整体设计“一课”，使学生由此及彼，达到知识与方法的融会贯通。

本课的设计重点是圆的相关性质等几何知识的复习。以题干为依据，从一个基本图形出发，激活学生已有的知识积累，然后逐渐添线，赋予图形不同的情境,让学生理解变式图形的基本要素之间的关系，从而找到解决问题的核心知识点与方法。

本节课的探究活动以问题为导向，由浅入深，符合学生的认知规律，遵循思维的最近发展区，教师引导学生通过审题和分析，对圆、三角形等几何核心知识进行梳理，把题目中的各个知识点串成线，让学生对圆的相关知识有了更深入的理解，拓宽了学生的知识视野，提升了综合运用知识的能力。然而，教学过程中也存在一些不足。在总结、提炼数学思想方法的环节，虽意识到其重要性并有所行动，但给予学生自主总结和交流的时间不够充分，未能最大化地实现让学生“会一题，得一法，通一类”的目标。

在未来的教学中，教师要给予学生更多自主思考和总结的时间，引导他们主动提炼数学思想方法，真正提升解决问题的能力，以更好地应对中考以及未来的学习。